Définition :
Soit \(M\subset{\Bbb R}^n\) une sous-variété de dimension \(d\)
Soit \(a\in M\) et \(\gamma:I\to M\) une courbe différentiable définie sur \(I\), un ouvert de \({\Bbb R}\) contenant \(0\) tel que \(\gamma(0)=a\)
On dit que \(\gamma^\prime(0)\) est tangent à \(M\) en \(a\)
De même, on dit que \(v\in{\Bbb R}^n\) est tangent à \(M\) en \(a\) s'il existe \(\gamma\) tel que \(\gamma^\prime(0)=v\)
(Sous-variété)
Définition :
On appelle espace tangent à \(M\) en \(a\) et on note \(T_aM\) l'ensemble des vecteurs tangents à \(M\) en \(a\)
Propriétés
Caractérisation
Proposition :
Soit \(M\subset{\Bbb R}^n\) une sous-variété de dimension \(d\) et \(g\) une submersion (implicite), \(h\) l'immersion (paramétrique) et \(\phi\) de classe \(\mathcal C^1\) (graphe) caractérisant localement \(M\) en \(a\)
Alors \(T_aM\) est donné par :
Exemple :
Si \(U\) est un ouvert de \({\Bbb R}^n\), \(T_xU=\) \({\Bbb R}^n\)
Exemple :
Si \(S=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=1\}\), \(T_{(x,y,z)}S=\{(u,v,w)\in{\Bbb R}^3\mid xu+yv+zw=0\}\) (plan tangent)
